Cómo funciona la selección aleatoria ponderada

La selección aleatoria ponderada es lo que se utiliza cuando las opciones no deberían tener la misma probabilidad. Los pesos le indican con qué frecuencia debería ganar cada opción, en promedio.

Conclusiones clave

Probabilidad = peso dividido por el peso total.
Los pesos acumulativos convierten las opciones en segmentos del intervalo de 0 a 1.
Un valor aleatorio seguro elige un punto; el segmento correspondiente gana.
Ponderado sin reemplazo elimina al ganador y vuelve a normalizar los pesos restantes.
Pruebe la equidad comparando las frecuencias observadas y esperadas en muchos sorteos.

Aleatoriedad igual versus ponderada

Un seleccionador aleatorio ordinario trata todas las opciones por igual. Esto es correcto para un sorteo en el aula donde cada estudiante debería tener la misma oportunidad. Pero muchas decisiones reales son deliberadamente desiguales:

Un juego quiere que el botín común aparezca con frecuencia y el botín raro aparezca rara vez.
Un sorteo otorga a algunos participantes más entradas que a otros.
Una prueba A/B envía el 80% de los usuarios a la variante de control y el 20% a la nueva.
Un profesor quiere que las preguntas difíciles aparezcan con más frecuencia que las fáciles.

La aleatoriedad ponderada sigue siendo aleatoriedad. La diferencia es que la distribución de probabilidad es intencional.

Los pesos son probabilidades, no recuentos

El peso de una opción no es en sí mismo una probabilidad. Es un número relativo. Para obtener una probabilidad, divida el peso por la suma de todos los pesos.

Supongamos que las opciones son:

A, peso 1.
B, peso 2.
C, peso 7.

El peso total es 10, por lo que las probabilidades son 10%, 20% y 70%. Si empatas 100 veces, C debería ganar unas 70 veces. Si empatas sólo 10 veces, C podría ganar 4, 6 o incluso 0 veces. Las muestras pequeñas son ruidosas; las ponderaciones describen la expectativa a largo plazo.

La distribución acumulativa

La distribución acumulativa convierte esos pesos en segmentos del intervalo de 0 a 1. Con el mismo ejemplo:

A cubre de 0,00 a 0,10.
B cubre de 0,10 a 0,30.
C cubre de 0,30 a 1,00.

El ancho de cada segmento es la probabilidad de la opción. Los segmentos no se superponen y juntos cubren todo el intervalo.

Ésta es la razón por la que la selección ponderada no necesita una probabilidad separada para cada opción. Sólo necesitas los pesos y su total.

Muestreo de transformación inversa

El muestreo de transformación inversa es la forma estándar de seleccionar de esa distribución:

Calcula el peso total.
Elija un valor aleatorio entre 0 y el total.
Revise las opciones y agregue cada peso al total acumulado.
Deténgase en la primera opción cuyo peso acumulado sea mayor o igual al valor aleatorio.

La opción seleccionada es la ganadora. Si el valor aleatorio cae en el segmento de A, A gana. Si cae en el segmento de C, C gana.

El algoritmo tarda O(n) tiempo por sorteo, donde n es el número de opciones. Es simple, correcto y lo suficientemente rápido para una página con unas pocas docenas de opciones.

Con y sin reemplazo

Con reposición, cada sorteo es independiente. La misma opción puede ganar más de una vez. Este es el modelo correcto cuando cada sorteo debe utilizar las probabilidades originales.

Sin reemplazo, una opción seleccionada se elimina del grupo. Los pesos restantes se renormalizan antes del siguiente sorteo. Si se elimina A, el total restante es menor, por lo que B y C obtienen una mayor participación en el próximo sorteo.

Sin reemplazo no hay confusión. No produce todas las permutaciones con la misma probabilidad. Produce un orden ponderado: las opciones con pesos mayores tienden a aparecer antes.

El método de alias para selecciones de gran volumen

Para una gran cantidad de sorteos o conjuntos de opciones muy grandes, existe una alternativa más rápida llamada método alias. Crea una tabla de búsqueda una vez y luego responde a cada sorteo en un tiempo constante.

El método de alias es útil en juegos y simulaciones que necesitan millones de selecciones. Para una herramienta de navegador con una lista pequeña, el muestreo de transformación inversa acumulativa es más simple y perfectamente adecuado.

Errores comunes

Es fácil equivocarse con los pesos. Esté atento a estos errores:

Tratar un peso de 70 como 70% cuando los demás pesos no son cero. Es sólo el 70% si los otros pesos suman 30 o menos.
Permitir pesos nulos o negativos. Las opciones de peso cero nunca pueden ganar. Los pesos negativos hacen que la distribución carezca de sentido.
Usar Math.random() para un sorteo que debe ser impredecible.
Usar un mapeo sesgado para convertir valores aleatorios en segmentos.
Juzgar la equidad a partir de diez o veinte sorteos. Las muestras pequeñas pueden verse muy diferentes de la distribución esperada.

Otro error común es confundir ponderación con barajar. Si necesita que todas las permutaciones sean igualmente probables, mezcle la lista. Si necesita una primera elección ponderada, utilice un sorteo ponderado.

Cómo verificar un sorteo ponderado

Comparar las frecuencias esperadas y observadas. Con las ponderaciones 1, 2 y 7, las probabilidades esperadas son 10%, 20% y 70%. Tras miles de sorteos, las proporciones observadas deberían acercarse a esas cifras.

No sobreinterprete una muestra pequeña. Un empate con una ponderación justa puede producir una racha sorprendente. Lo que importa es si las frecuencias observadas convergen a medida que crece la muestra y si la implementación está documentada.

Para un sorteo ponderado público, registre las opciones, los pesos y el resultado. Eso hace que el sorteo sea auditable incluso si nunca publicas el código.

Cómo implementa este sitio el azar ponderado

El selector ponderado de este sitio utiliza pesos acumulativos y un valor aleatorio criptográficamente seguro. La vista previa de probabilidad muestra la distribución normalizada antes de dibujar. Las opciones se seleccionan con muestreo de transformación inversa y los sorteos sin reemplazo eliminan la opción seleccionada y vuelven a normalizar los pesos restantes.

Todo se ejecuta localmente en su navegador. Sus opciones, pesos y resultados no se cargan.

Conclusión

La aleatoriedad ponderada cambia las probabilidades, no la fuente de la aleatoriedad. Normalice los pesos, utilice un valor aleatorio seguro y seleccione el segmento acumulativo coincidente. Eso le brinda probabilidades bastante desiguales para mesas de botín, rifas, pruebas A/B y actividades en el aula.